Trong bài viết dưới đây mời bạn đọc cùng trường kinh doanh công nghệ tìm hiểu về hằng đẳng thức a 2 b 2, cùng với đó là các ví dụ minh họa có lời giải và bài tập rèn luyện giúp các bạn bao quát nhiều dạng bài chuyên đề hằng đẳng thức
Nội dung về hằng đẳng thức a 2 b 2
Hằng đẳng thức:
- (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 khi đó:
- a2 + b2 = (a + b)2 – 2ab
- (a – b)2 = a2 – 2ab + b2 khi đó:
- a2 + b2 = (a – b)2 + 2ab
Bài tập ví dụ minh họa bài toán a^2 + b^2
Ví dụ 1: Tính a2 + b2 biết a + b = 5 và ab = 1
Hướng dẫn giải
Ta có:
a2 + b2
= (a + b)2 – 2ab
= 52 – 2.1 = 25 – 2 = 23
Vậy a2 + b2 = 23 khi a + b = 5 và ab = 1
Ví dụ 2: Phân tích đa thức thành nhân tử đa thức a2 + b2 + 2a – 2b – 2ab
Hướng dẫn giải
Thực hiện phân tích đa thức thành nhân tử ta có:
a2 + b2 + 2a – 2b – 2ab
= a2 – 2ab + b2 + 2a – 2b
= (a – b)2 + 2(a – b)
= (a – b)(a – b + 2)
Vậy a2 + b2 + 2a – 2b – 2ab = (a – b)(a – b + 2)
Ví dụ 3: Cho a và b là hai số bất kì. Chứng minh rằng: a2 + b2 + 9 ≥ ab – 3(a + b)
Hướng dẫn giải
Ta có: a2 + b2 + 9 ≥ ab – 3(a + b)
=> 2a2 + 2b2 + 18 ≥ 2ab – 6(a + b)
=> a2 + b2 – 2ab + a2 +6a + 9 + b2 + 6b + 9 ≥ 0
=> (a – b)2 + (a + 3)2 + (b + 3)2 ≥ 0 (luôn đúng với mọi giá trị a và b)
Vậy với các số a và b bất kì ta luôn có a2 + b2 + 9 ≥ ab – 3(a + b)
Ví dụ 4: Tìm các giá trị x và y biết:
a) x2 – 2x + 5 + y2 – 4y = 0
b) 4x2 + y2 – 20x – 2y + 26 = 0
Hướng dẫn giải
a) x2 – 2x + 5 + y2 – 4y = 0
=> (x2 – 2x + 1) + (y2 – 4y + 4) = 0
=> (x – 1)2 + (y – 2)2 = 0
=> (x – 1)2 = 0
(y – 2)2 = 0 (vì (x – 1)2; (y – 2)2 ≥ 0)
=> x = 1; y = 2
Vậy x = 1; y = 2
b) 4x2 + y2 – 20x – 2y + 26 = 0
=> (4x2 – 20x + 25) + (y2 – 2y + 1) = 0
=> (2x – 5)2 + (y – 1)2 = 0
=> (2x – 5)2 = 0 và (y – 1)2 = 0
Vì (2x – 5)2 ; (y – 1)2 ≥ 0
=> x = 2/3; y = -1/2
Ví dụ 5: Chứng minh không tồn tại x; y thỏa mãn:
a) x2 + 4y2 + 4x – 4y + 10 = 0
b) 3x2 + y2 + 10x – 2xy + 29 = 0
c) 4x2 + 2y2 + 2y – 4xy + 5 = 0
Hướng dẫn giải
a) x2 + 4y2 + 4x – 4y + 10 = 0
=> x2 + 4x + 4 + 4y2– 4y + 1 + 5 = 0
=> (x + 2)2 + (2y – 1)2 + 5 = 0
Mà (x + 2)2 + (2y – 1)2 + 5 ≥ 5 > 0
Suy ra không có x; y thỏa mãn đề bài
b) 3x2 + y2 + 10x – 2xy + 29 = 0
=> x2 – 2xy + y2 + 2x2 + 10x + 29 = 0
=> (x – y)2 + 2(x + 2,5)2 + 16,5 = 0
Mà (x – y)2 + 2(x + 2,5)2 + 16,5 ≥ 16,5 > 0
Suy ra không có x; y thỏa mãn đề bài
c) 4x2 + 2y2 + 2y – 4xy + 5 = 0
=> (4x2 – 4xy + y2) + (y2 + 2y + 1) + 4 = 0
=> (2x – y)2 + (y + 1)2 + 4 = 0
Mà (2x – y)2 + (y + 1)2 + 4 ≥ 4 > 0
Suy ra không có x; y thỏa mãn đề bài
Bài viết trên Truongkinhdoanhcongnghe đã chia sẻ với bạn những kiến thức xung quanh hằng đẳng thức a 2 b 2. Mong rằng bài viết này hữu ích với bạn. Chúc bạn học tập tốt!
Tốt nghiệp khoa sư phạm tiểu học, nhiều năm trực tiếp giảng dạy bậc tiểu học, cô rất hiểu tâm lý các em HS; lối truyền đạt kiến thức phù hợp với con trẻ. Với quan điểm “Giáo dục là vũ khí mạnh nhất để thay đổi cả thế giới” cô Huệ luôn cố gắng hết mình để truyền tải tri thức tới các em học sinh.
